\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=2.5cm}

\title{MAT1120 – Prøveeksamen (Uoffisiell) – Høst 2025}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\textbf{Tillatte hjelpemidler:} Godkjent kalkulator \\
\textbf{Varighet:} 4 timer

\section*{Oppgave 1 – Lineære ligningssystemer og matriser}

\begin{enumerate}
\item[a)] Løs følgende lineære ligningssystem ved hjelp av Gauss-eliminasjon:
\[
\begin{cases}
x + 2y - z = 1 \\
2x + 5y + z = 4 \\
- x + y + 2z = 2
\end{cases}
\]

\item[b)] Finn den reduserte trappeformen (RREF) til matrisen
\[
A = 
\begin{pmatrix} 
1 & 2 & -1 \\
2 & 5 & 1 \\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\]

\item[c)] Bruk resultatet til å finne en basis for løsningsrommet til \(A\mathbf{x} = 0\).
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 2 – Determinanter}

\begin{enumerate}
\item[a)] Beregn determinanten
\[
\det(B), \quad 
B = 
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \\
0 & -1 & 4 \\
5 & 2 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\item[b)] La \(C\) være matrisen som fås ved at andre rad i \(B\) erstattes med \((0,-2,8)\). Finn \(\det(C)\) uten å regne determinanten på nytt.

\item[c)] Forklar kort hvorfor en matrise med to identiske rader alltid har determinant lik 0.
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 3 – Vektorrom}

\begin{enumerate}
\item[a)] Vis at mengden  
\[
U = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x - 2y + 3z = 0 \}
\]
er et underrom av \(\mathbb{R}^3\).

\item[b)] Finn en basis og dimensjonen til \(U\).

\item[c)] Er følgende mengde et vektorrom?
\[
W = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 0\}
\]
Gi en begrunnelse.
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 4 – Egenverdier og egenvektorer}

Gitt matrisen
\[
A = 
\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}.
\]

\begin{enumerate}
\item[a)] Finn egenverdiene til \(A\).
\item[b)] For hver egenverdi, finn en tilhørende egenvektor.
\item[c)] Er \(A\) diagonaliserbar? Begrunn svaret.
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 5 – Lineære transformasjoner}

La \(T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) være gitt ved  
\[
T(x,y) = (3x - y,\; 2x + y).
\]

\begin{enumerate}
\item[a)] Finn standardmatrisen for \(T\).
\item[b)] Finn bildet av vektoren \((2, -1)\).
\item[c)] Avgjør om \(T\) er inverterbar.
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 6 – Førsteordens differensialligninger}

\begin{enumerate}
\item[a)] Løs differensialligningen  
\[
\frac{dy}{dx} + 2y = 6 e^{-2x}
\]
ved hjelp av integrerende faktor.

\item[b)] Løs initialverdiproblemet  
\[
\frac{dy}{dx} = y(1-y), \qquad y(0) = \frac{1}{4}.
\]
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 7 – Andreordens lineære differensialligninger}

\begin{enumerate}
\item[a)] Løs den homogene ligningen  
\[
y'' - 5y' + 6y = 0.
\]

\item[b)] Finn den generelle løsningen til den inhomogene ligningen  
\[
y'' - 5y' + 6y = e^{2x}.
\]

\item[c)] Finn den spesifikke løsningen som tilfredsstiller  
\[
y(0) = 1, \qquad y'(0) = 0.
\]
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 8 – Ortonormalitet og Gram–Schmidt}

Gitt vektorene i \(\mathbb{R}^3\):
\[
v_1 = (1,1,0), \quad v_2 = (1,0,1).
\]

Bruk Gram–Schmidt-metoden til å konstruere et ortonormalt basispar \(\{u_1, u_2\}\) for rommet de to vektorene spenner opp.

\section*{Oppgave 9 – Projeksjon}

La  
\[
u = (2,-1,2), \qquad v = (1,1,1).
\]

\begin{enumerate}
\item[a)] Finn projeksjonen av \(u\) på \(v\).
\item[b)] Finn komponenten av \(u\) som er ortogonal på \(v\).
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 10 – Bonus (valgfri)}

La  
\[
A = 
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}.
\]

Finn en formel for \(A^n\) ved hjelp av diagonaliseringsmetoden (forutsett at den er diagonaliserbar).

\end{document}
