\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{hyperref}
\geometry{margin=2.5cm}

\title{MAT1120 – Prøveeksamen Høst 2025 \\ Løsningsforslag (Uoffisiell)}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Oppgave 1 – Lineære ligningssystemer og matriser}

\textbf{Oppgave:} Løs ligningssystemet
\[
\begin{cases}
x + 2y - z = 1 \\
2x + 5y + z = 4 \\
- x + y + 2z = 2
\end{cases}
\]

\textbf{Løsning:} Fra første ligning: \(x = 1 - 2y + z\). Sett inn i de to andre ligningene:

\[
\begin{cases}
2(1-2y+z) + 5y + z =4 \implies y + 3z = 2 \\
-(1-2y+z) + y + 2z =2 \implies 3y + z =3
\end{cases}
\]

Løsning gir \(z = \frac{3}{8}, y = \frac{7}{8}, x = -\frac{3}{8}\).

\textbf{Svar:} \((x,y,z) = \left(-\frac{3}{8}, \frac{7}{8}, \frac{3}{8}\right)\)

\bigskip

\textbf{RREF til matrisen:}
\[
A = 
\begin{pmatrix} 
1 & 2 & -1 \\
2 & 5 & 1 \\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \implies
\text{RREF}(A) = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]

\textbf{Basis for løsningen av \(A\mathbf{x}=0\)}: Ingen frie variable → bare null-løsning → \(\{\mathbf{0}\}\)

\section*{Oppgave 2 – Determinanter}

\textbf{Oppgave:} Beregn determinanter

\[
B = 
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \\
0 & -1 & 4 \\
5 & 2 & 0
\end{pmatrix}
\]

\textbf{Løsning:}
\[
\det(B) = 3((-1)*0 - 4*2) -1(0*0 -4*5) +2(0*2 -(-1)*5) = -24 +20 +10 =6
\]

Endring av andre rad til \((0,-2,8)\) dobler determinant: \(\det(C)=12\)

To identiske rader gir determinant = 0 (multilinearitet og radbytte).

\section*{Oppgave 3 – Vektorrom}

\textbf{Oppgave:} La \(U = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x-2y+3z=0\}\)

\begin{enumerate}
\item[a)] Nullvektor finnes, lukket under addisjon og skalar multiplisering → underrom.
\item[b)] Løs for \(x = 2y-3z\) → basis: \(\{(2,1,0), (-3,0,1)\}, \dim U = 2\)
\item[c)] \(W = \{(x,y): xy=0\}\) er ikke underrom, da f.eks. \((1,0)+(0,1)=(1,1)\notin W\)
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 4 – Egenverdier og egenvektorer}

\[
A = \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 2 &3 \end{pmatrix}
\]

\begin{enumerate}
\item[a)] \(\det(A-\lambda I)=0 \implies \lambda^2 -7\lambda +10=0 \implies \lambda = 5,2\)
\item[b)] Egenvektorer: \(\lambda=5\Rightarrow(1,1), \lambda=2\Rightarrow(1,-2)\)
\item[c)] To lineært uavhengige egenvektorer → diagonaliserbar
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 5 – Lineære transformasjoner}

\[
T(x,y) = (3x-y, 2x+y)
\]

\begin{enumerate}
\item[a)] Standardmatrise: \(\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
\item[b)] \(T(2,-1) = (7,3)\)
\item[c)] \(\det=5 \neq 0 \Rightarrow T\) inverterbar
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 6 – Førsteordens differensialligninger}

\begin{enumerate}
\item[a)] \(y'+2y=6e^{-2x}\)  
Integrerende faktor \(e^{2x}\) → \(y=(6x+C)e^{-2x}\)

\item[b)] \(y'=y(1-y), y(0)=1/4\)  
Separasjon: \(\frac{dy}{y(1-y)}=dx \implies \ln\frac{y}{1-y}=x+C\)  
\(y = \frac{e^x}{3+e^x}\)
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 7 – Andreordens differensialligninger}

\begin{enumerate}
\item[a)] Homogen: \(y''-5y'+6y=0\), karakteristisk: \(r^2-5r+6=0 \implies r=2,3\)  
\(y_h=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}\)

\item[b)] Inhomogen: \(y''-5y'+6y=e^{2x}\), forsøk \(y_p = x e^{2x}\)  

\item[c)] Initialbetingelser \(y(0)=1, y'(0)=0\) → løs \(C_1, C_2\) for spesifikk løsning
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 8 – Gram–Schmidt}

\[
v_1=(1,1,0), v_2=(1,0,1)
\]

\begin{enumerate}
\item \(u_1=v_1/\|v_1\|=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)\)
\item \(u_2=(v_2-\text{proj}_{u_1}v_2)/\|v_2-\text{proj}_{u_1}v_2\| = (1/2,-1/2,1/\sqrt{2})\)
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 9 – Projeksjon}

\[
u=(2,-1,2), v=(1,1,1)
\]

\begin{enumerate}
\item[a)] \(\text{proj}_v u = \frac{u\cdot v}{v\cdot v} v = (1,1,1)\)
\item[b)] Ortogonal komponent: \(u-\text{proj}_v u = (1,-2,1)\)
\end{enumerate}

\section*{Oppgave 10 – Bonus}

\[
A = \begin{pmatrix}1 &2 \\3 &4\end{pmatrix}
\]

Diagonaliserbar: \(A=PDP^{-1}, D=\text{diag}(5,-1) \implies A^n = P D^n P^{-1}, D^n = \text{diag}(5^n,(-1)^n)\)

\end{document}
