\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

\section*{Gauss-integralet og ekstremalpunkter for geografiske lokasjoner}

\subsection*{Gauss-integralet}
Vi starter med Gauss-integralet:
\[
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.
\]

I to dimensjoner:
\[
\int_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)} \, dx\,dy = \pi.
\]

\subsection*{Abstraksjon av lokasjonspunkter}

La et punkt på jordoverflaten representeres ved:
\[
p = (\varphi, \lambda),
\]
der
\begin{itemize}
    \item $\varphi$ = breddegrad (latitude)
    \item $\lambda$ = lengdegrad (longitude)
\end{itemize}

La et referansepunkt være:
\[
p_0 = (\varphi_0, \lambda_0).
\]

Vi definerer en lokal tilnærming (kartesisk projeksjon):
\[
x = \varphi - \varphi_0, \quad y = \lambda - \lambda_0.
\]

\subsection*{Gaussisk vektingsfunksjon}

Vi modellerer en lokasjonsavhengig funksjon som:
\[
f(\varphi, \lambda) = e^{-\left((\varphi - \varphi_0)^2 + (\lambda - \lambda_0)^2\right)}.
\]

Dette er en Gaussisk funksjon sentrert i $p_0$.

\subsection*{Normalisering}

Total ``masse'' over planet:
\[
\iint_{\mathbb{R}^2} f(\varphi, \lambda)\, d\varphi\, d\lambda = \pi.
\]

\subsection*{Ekstremalpunkt}

For å finne ekstremalpunktet der funksjonen er maksimal, beregner vi gradienten:
\[
\nabla f =
\left(
\frac{\partial f}{\partial \varphi},
\frac{\partial f}{\partial \lambda}
\right).
\]

Deriver:
\[
\frac{\partial f}{\partial \varphi}
= -2(\varphi - \varphi_0) e^{-((\varphi - \varphi_0)^2 + (\lambda - \lambda_0)^2)},
\]

\[
\frac{\partial f}{\partial \lambda}
= -2(\lambda - \lambda_0) e^{-((\varphi - \varphi_0)^2 + (\lambda - \lambda_0)^2)}.
\]

Sett $\nabla f = 0$:
\[
\varphi = \varphi_0, \quad \lambda = \lambda_0.
\]

\subsection*{Andrederivert test}

Hessian-matrisen:
\[
H =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi \partial \lambda} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial \lambda \partial \varphi} & \frac{\partial^2 f}{\partial \lambda^2}
\end{pmatrix}.
\]

Ved punktet $(\varphi_0, \lambda_0)$:
\[
H =
\begin{pmatrix}
-2 & 0 \\
0 & -2
\end{pmatrix}.
\]

Siden egenverdiene er negative, er dette et maksimum.

\subsection*{Tolkning}

Funksjonen $f(\varphi, \lambda)$ kan tolkes som en sannsynlighetstetthet eller
påvirkningsmodell rundt et geografisk punkt. Maksimum oppstår i sentrum,
og Gauss-integralet gir total vekting.

\end{document}